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L'essentiel en 30 secondes
P + ½ ρ V² + ρ g z = constante
- L'énergie d'un fluide se conserve le long d'une ligne de courant : pression, vitesse et altitude s'échangent.
- Quand la vitesse augmente, dans un rétrécissement, la pression diminue : c'est l'effet Venturi.
- La formule suppose un fluide sans frottement ; dans un vrai réseau, on y ajoute les pertes de charge.
Les mots clés
- pression dynamique
- Le terme ½ ρ V² : énergie cinétique du fluide par unité de volume, en pascals.
- ligne de courant
- Trajectoire suivie par une particule de fluide dans un écoulement permanent.
- effet Venturi
- Baisse de pression statique dans un rétrécissement, où la vitesse augmente.
- charge
- Énergie totale exprimée en mètres de fluide : P/(ρg) + V²/(2g) + z.
Qu'est-ce que le théorème de Bernoulli ?
Le théorème de Bernoulli exprime la conservation de l'énergie d'un fluide en mouvement : le long d'une ligne de courant, la somme de la pression statique, de la pression dynamique (ρV²/2) et de la pression de pesanteur (ρgz) reste constante. Il s'applique à un fluide incompressible, en écoulement permanent, sans frottement ni échange d'énergie. Quand la vitesse augmente, par exemple dans un rétrécissement, la pression statique diminue : c'est l'effet Venturi.
Formule de Bernoulli
Entre deux points A et B d'une même ligne de courant :
Divisée par ρg, la même relation s'écrit en hauteurs de fluide (en mètres), ce qui définit la charge H :
- P : pression statique du fluide, en pascals (Pa)
- ρ (rhô) : masse volumique du fluide, en kg/m³ (eau : 1 000 kg/m³)
- V : vitesse du fluide, en m/s
- g : accélération de la pesanteur, 9,81 m/s²
- z : altitude du point considéré, en mètres
- ½ ρ V² : pression dynamique (énergie cinétique par unité de volume), en Pa
- ρ g z : pression de pesanteur (énergie potentielle par unité de volume), en Pa
Les trois termes du théorème de Bernoulli
| Terme | Nom | Unité | Signification |
|---|---|---|---|
| P | Pression statique | Pa | Pression mesurée par un manomètre fixé sur la paroi |
| ½ ρ V² | Pression dynamique | Pa | Énergie cinétique du fluide ; augmente avec la vitesse |
| ρ g z | Pression de pesanteur | Pa | Énergie potentielle liée à l'altitude |
| P + ½ ρ V² + ρ g z | Pression totale | Pa | Constante le long d'une ligne de courant sans perte |
Labo : jouez avec un tube de Venturi
Réglez la vitesse d'entrée et le rétrécissement : la vitesse au col et la chute de pression sont recalculées par le théorème de Bernoulli (eau, sans perte de charge).
Au col, la vitesse est multipliée par (D₁/D₂)² : la pression statique baisse d'autant que la pression dynamique augmente.
Explications détaillées et calcul dans Mecaflux
Théorème de Bernoulli:
La somme des pressions et des énergies mécaniques par unité de volume est constante tout le long du tube de courant
FORMULE DE BERNOULLI
ρ.V²/2+ρ.g.Z+P=Constante
ρ est la masse volumique en Kg/m3.
V est la vitesse du fluide en m/s.
est la gravité terrestre 9.81 m/s².
Z est le denivelé vertical du conduit en mètres.
P est la pression statique en pascals.
ρ.g.Z est la pression de pesanteur ou énergie potentielle.
ρ.V²/2 est la pression cinétique ou énergie cinétique.
L' équation de Bernoulli peut être considérée comme un principe de conservation d'énergie adapté aux fluides en mouvement. Le comportement habituellement nommé "effet Venturi" ou "effet Bernoulli" est la diminution de pression du liquide dans les régions où la vitesse d' écoulement est augmentée. Cette diminution de pression dans un rétrécissement de conduit peut sembler contradictoire, à moins de considérer la pression comme une Densité d'énergie. Au passage dans le rétrécissement la vitesse du fluide, donc son énergie cinétique, doit augmenter aux dépens de l'énergie de pression.
ρ.VA²/2+ρ.g.ZA+PA=ρ.VB²/2+ρ.g.ZB+PB
avec: A et B, 2 points distinct de la veine de fluide.
En supposant que l' écoulement soit laminaire, que les pertes de charges régulières du conduit soient négligeables,et que la vitesse soit la vitesse moyenne:Le menu Outils du logiciel mecaflux contient une application permettant d' utiliser le théorème de Bernoulli pour déterminer les conditions de fonctionnement d'un système d'apres les paramètres de variation de vitesses, altitude et pression entre 2 points d'un courant de fluide. Comme par exemple pour un système de venturi
l' Outil venturi du logiciel MECAFLUX est aussi une application du théoreme équation de Bernoulli
Pour les conversions d' unité utilisez le convertisseur intégré à MECAFLUX
Histoire de la découverte : de Torricelli à Daniel Bernoulli et Euler
Le théorème qui porte le nom de Daniel Bernoulli paraît en 1738 dans son Hydrodynamica, un livre qui donne aussi son nom à l'hydrodynamique. Mais l'équation telle qu'on l'écrit aujourd'hui doit autant à Leonhard Euler, qui lui donne sa forme générale en 1755.
Les préalables : Torricelli, Pascal, Newton et la « force vive »
En 1644, Evangelista Torricelli, élève de Galilée, montre que l'eau qui s'échappe par un orifice au fond d'un réservoir sort à la vitesse qu'elle aurait en tombant librement de la hauteur du niveau libre : c'est la loi de vidange de Torricelli, V = √(2gh). Blaise Pascal formule ensuite les lois de la pression dans un liquide au repos (Traité de l'équilibre des liqueurs, publié en 1663), et Newton consacre en 1687 une partie des Principia au mouvement des fluides.
Le concept décisif vient d'ailleurs : Leibniz et Huygens défendent la conservation de la « force vive » (vis viva, mv², ancêtre de l'énergie cinétique). Huygens l'avait énoncée pour les pendules : un corps ne peut remonter plus haut que la hauteur d'où il est descendu. Daniel Bernoulli va appliquer ce principe à un fluide.
Daniel Bernoulli à Saint-Pétersbourg (1725-1738)
Daniel Bernoulli (1700-1782), fils du mathématicien Johann Bernoulli, est formé à la médecine autant qu'aux mathématiques. Professeur à l'Académie de Saint-Pétersbourg à partir de 1725, il s'intéresse à l'écoulement de l'eau dans les conduites et à celui du sang dans les artères. Il perce la paroi d'un tuyau, y fixe un petit tube vertical, et constate que la hauteur d'eau dans le tube baisse quand la vitesse de l'écoulement augmente : la pression sur la paroi diminue là où le fluide accélère.
En appliquant la conservation de la force vive aux tranches de fluide, il relie cette pression à la vitesse. Le manuscrit est achevé vers 1734 ; l'Hydrodynamica, sive de viribus et motibus fluidorum commentarii paraît en 1738 à Strasbourg. Le livre contient aussi, au chapitre X, la première ébauche d'une théorie cinétique des gaz : la pression d'un gaz y est expliquée par les chocs de ses particules sur les parois.
Une querelle de famille : l'Hydraulica de Johann Bernoulli
Peu après, son père Johann publie une Hydraulica qu'il antidate à 1732, pour paraître antérieur à son fils. Le procédé est peu glorieux, mais l'ouvrage apporte une idée juste : raisonner sur les forces de pression internes au fluide plutôt que sur la seule force vive. La rivalité entre le père et le fils est restée célèbre dans l'histoire des sciences.
Euler donne à l'équation sa forme moderne (1755)
Leonhard Euler, ami de Daniel et élève de Johann, reprend la question avec un outil nouveau : les équations aux dérivées partielles. Dans ses Principes généraux du mouvement des fluides (présentés à l'Académie de Berlin en 1755, imprimés en 1757), il écrit les équations du mouvement d'un fluide parfait, dites équations d'Euler. Leur intégration le long d'une ligne de courant donne la relation que nous appelons théorème de Bernoulli :
Le nom de Bernoulli est resté attaché à la relation, alors que sa forme est celle d'Euler, et que Daniel raisonnait en hauteurs d'eau et en forces vives plutôt qu'en pressions.
Son impact, à l'époque et ensuite
- La mesure des vitesses et des débits. Dès 1732, Henri Pitot mesure la vitesse de la Seine avec un tube coudé, dont la théorie sera donnée par le théorème de Bernoulli. En 1797, Giovanni Battista Venturi étudie les tubes convergents-divergents qui mèneront au débitmètre de Venturi.
- L'hydraulique des ingénieurs. Exprimé en hauteurs de fluide, le théorème définit la charge H. Complété par les pertes de charge au XIXe siècle, il devient l'outil de base du calcul des réseaux et des pompes.
- La médecine. La méthode de Daniel, un tube planté dans la paroi, est restée longtemps la seule façon de mesurer la pression du sang, directement dans l'artère, avant l'invention du brassard au XIXe siècle.
- L'aérodynamique. Au XXe siècle, la dépression mesurée sur l'extrados d'une aile, liée à la survitesse de l'air, s'analyse avec le théorème de Bernoulli et la conservation du débit. Il sert à calculer la portance des ailes et les efforts sur les pales d'hélice, même si l'origine de la portance demande d'autres principes (circulation, effet de la viscosité).
| Date | Étape |
|---|---|
| 1644 | Torricelli : vitesse de vidange d'un réservoir |
| 1663 | Pascal : Traité de l'équilibre des liqueurs (posthume) |
| 1687 | Newton : Principia, livre II sur les fluides |
| 1686-1700 | Leibniz, Huygens : conservation de la force vive |
| 1732 | Pitot : tube de mesure de vitesse |
| 1738 | Daniel Bernoulli : Hydrodynamica |
| 1742-1743 | Johann Bernoulli : Hydraulica, antidatée à 1732 |
| 1755-1757 | Euler : équations du fluide parfait, forme moderne du théorème |
| 1797 | Venturi : tubes convergents-divergents |
Bibliographie
- E. Torricelli, « De motu gravium naturaliter descendentium et proiectorum », dans Opera geometrica, Florence, 1644.
- D. Bernoulli, Hydrodynamica, sive de viribus et motibus fluidorum commentarii, Strasbourg, J. R. Dulsecker, 1738.
- L. Euler, « Principes généraux du mouvement des fluides », Mémoires de l'Académie royale des sciences et belles-lettres de Berlin, 11 (1755), imprimé en 1757, p. 274-315.
- H. Rouse, S. Ince, History of Hydraulics, Iowa Institute of Hydraulic Research, 1957.
- O. Darrigol, Worlds of Flow: A History of Hydrodynamics from the Bernoullis to Prandtl, Oxford University Press, 2005.
Questions fréquentes
Dans quelles conditions le théorème de Bernoulli est-il valable ?
Pour un fluide incompressible (liquide, ou gaz à faible vitesse), en écoulement permanent, le long d'une ligne de courant, sans frottement et sans pompe ni turbine entre les deux points. Dans une conduite réelle, on ajoute un terme de perte de charge ΔH au second membre.
Comment tenir compte des pertes de charge dans l'équation de Bernoulli ?
On écrit l'équation en hauteurs de fluide et on ajoute la perte de charge entre A et B : PA/ρg + VA²/2g + zA = PB/ρg + VB²/2g + zB + ΔH. ΔH se calcule avec les formules de pertes de charge régulières et singulières.
Pourquoi la pression baisse-t-elle quand la vitesse augmente ?
Parce que la somme des trois termes reste constante : si la vitesse augmente, la pression dynamique ½ρV² augmente et la pression statique P doit diminuer d'autant. C'est le principe du tube de Venturi, du carburateur ou de la portance d'une aile.
Comment appliquer le théorème de Bernoulli à mon installation ?
L'outil Bernoulli du menu Outils de Mecaflux Standard calcule la grandeur inconnue (vitesse, pression ou altitude) en un point à partir des valeurs connues en un autre point, et l'outil Venturi applique la même relation à un rétrécissement de conduite ; les pertes de charge du réseau s'y ajoutent ensuite dans l'inventaire. Pour un réseau complet à dimensionner ou à vérifier, Mecaflux réalise l'étude de votre projet et vous remet la note de calcul, ou vous propose une formation sur le logiciel appliquée à votre propre installation.