Sommaire de la page
- Comment calculer le nombre de Reynolds et interpréter le…
- Formules du nombre de Reynolds
- Nombre de Reynolds et régime de l'eau dans un tube DN 50…
- Nombre de Reynolds de quelques écoulements courants
- Calculateur du nombre de Reynolds en ligne
- Explications détaillées et calcul dans Mecaflux
- Histoire de la découverte : Osborne Reynolds et…
- Questions fréquentes
Comment calculer le nombre de Reynolds et interpréter le régime d'écoulement ?
Le nombre de Reynolds compare les forces d'inertie aux forces de viscosité d'un écoulement : Re = ρ × V × L / μ = V × L / ν, sans unité, avec V la vitesse, L une longueur de référence (le diamètre intérieur pour une conduite, la corde pour un profil) et ν la viscosité cinématique du fluide. Il fixe le régime d'écoulement : en conduite, laminaire en dessous de 2 000, transitoire entre 2 000 et 3 000, turbulent au-delà. Exemple : de l'eau à 20 °C (ν = 1,0 mm²/s) à 1 m/s dans un tube DN 50 de 53,1 mm donne Re = 1 × 0,0531 / 10⁻⁶ = 52 900, franchement turbulent ; l'écoulement n'y resterait laminaire qu'en dessous de 0,038 m/s. Dans l'air (ν = 15,1 mm²/s), le Reynolds est 15 fois plus faible pour la même vitesse et la même dimension. Le calculateur ci-dessous donne le nombre de Reynolds d'une conduite, d'un profil, d'une plaque ou d'un obstacle, avec le régime correspondant et les vitesses de transition.
Formules du nombre de Reynolds
- Re : nombre de Reynolds, sans unité ; en conduite : laminaire si Re < 2 000, transitoire de 2 000 à 3 000, turbulent au-delà
- ρ : masse volumique du fluide, en kg/m³ ; μ : viscosité dynamique, en Pa·s (eau à 20 °C : 1,0 × 10⁻³) ; ν = μ/ρ : viscosité cinématique, en m²/s
- V : vitesse moyenne du fluide, en m/s, V = 4 Q / (π D²) en conduite ; vitesse relative pour un corps en mouvement
- L : longueur de référence, en m : diamètre intérieur D (ou diamètre hydraulique) d'une conduite, corde d'un profil, longueur mouillée d'une plaque, largeur frontale d'un obstacle
Nombre de Reynolds et régime de l'eau dans un tube DN 50 selon la vitesse
| Vitesse V | Débit | Reynolds Re | Régime | Coefficient de perte de charge λ |
|---|---|---|---|---|
| 0,01 m/s | 0,08 m³/h | 530 | laminaire | 64/Re = 0,121 |
| 0,03 m/s | 0,24 m³/h | 1 590 | laminaire | 64/Re = 0,040 |
| 0,05 m/s | 0,40 m³/h | 2 650 | transitoire | incertain |
| 0,1 m/s | 0,80 m³/h | 5 290 | turbulent | Colebrook : 0,037 (acier neuf) |
| 0,5 m/s | 3,99 m³/h | 26 500 | turbulent | 0,026 |
| 1 m/s | 7,97 m³/h | 52 900 | turbulent | 0,023 |
| 2 m/s | 15,9 m³/h | 105 800 | turbulent | 0,022 |
Nombre de Reynolds de quelques écoulements courants
| Écoulement | Longueur de référence L | Vitesse V | Re | Interprétation |
|---|---|---|---|---|
| Bille de 1 mm tombant dans l'eau | 1 mm | 0,1 m/s | 100 | sillage laminaire, Cx ≈ 1,1 |
| Huile VG 46 à 40 °C dans un tube DN 25 | 27,3 mm | 1 m/s | 590 | laminaire : λ = 64/Re |
| Air dans une gaine de 300 mm | 300 mm | 5 m/s | 99 600 | turbulent |
| Aile de drone | corde 0,15 m | 15 m/s | 149 000 | bas Reynolds : polaires sensibles à Re |
| Pale d'éolienne | corde 1 m | 60 m/s | 4,0 × 10⁶ | couche limite turbulente, finesse élevée |
| Aile d'avion léger | corde 1,5 m | 50 m/s | 5,0 × 10⁶ | idem |
| Pale d'hélice marine | corde 0,3 m | 15 m/s | 4,3 × 10⁶ | idem, dans l'eau |
| Carène de 10 m dans l'eau de mer | 10 m | 5 m/s (9,7 nœuds) | 4,8 × 10⁷ | frottement selon la ligne ITTC 1957 |
Explications détaillées et calcul dans Mecaflux
- Reynolds nous a donné une passerelle entre les differents fluides et les differentes échelles.
- Le diamètre interieur de la conduite (pour les écoulements en conduites)
- Pour l'étude de la trainée des corps géométriques non profilés, cette longueur de référence est la largeur de la surface frontale (perpendiculaire a l'écoulement)
- Pour l'étude de la portance , de la trainée des corps profilés , cette longueur est prise parallèlement à l'écoulement.
- Pour l'étude de la trainée de friction des surface planes , cette longueur de référence est la longueur de la surface mouillée, prise parallèlement à l'écoulement.
Re=V.L/u
Re=((vitesse moyenne )x( longueur de référence))/(viscosité cinématique du fluide) ou encore en utilisant la viscosité dynamique: Re=((masse volumique )x(vitesse moyenne )x( longueur de référence ))/( viscosité dynamique du fluide) 
Histoire de la découverte : Osborne Reynolds et l'expérience du filet coloré (1883)
En 1883, à Manchester, Osborne Reynolds fait couler de l'eau dans un tube de verre et y injecte un mince filet d'encre. Cette expérience, d'une simplicité désarmante, révèle les deux régimes d'écoulement, laminaire et turbulent, et le nombre sans dimension qui décide de l'un ou de l'autre. Ce nombre ne portera le nom de Reynolds qu'en 1908.
Les préalables : deux lois de frottement qui ne s'accordent pas
Au milieu du XIXe siècle, les hydrauliciens disposent de deux lois contradictoires. Pour les conduites d'eau des villes, Weisbach (1845) et Darcy (1857) trouvent une perte de charge à peu près proportionnelle au carré de la vitesse. Pour les tubes très fins, Gotthilf Hagen (1839) et le médecin Jean-Léonard-Marie Poiseuille (1840-1846) trouvent une perte proportionnelle à la vitesse elle-même. Hagen remarque même que l'écoulement change d'aspect au-delà d'une certaine vitesse, sans pouvoir en donner la règle.
Du côté de la théorie, Navier (1822) puis George Gabriel Stokes (1845) ont écrit les équations du mouvement d'un fluide visqueux. En 1851, Stokes y fait apparaître le rapport entre les effets d'inertie et ceux de la viscosité, sans en faire un critère d'écoulement.
Reynolds, un ingénieur devenu physicien
Osborne Reynolds (1842-1912), formé en atelier de mécanique puis en mathématiques à Cambridge, devient en 1868 le premier professeur d'ingénierie de l'Owens College de Manchester. Il travaille sur des sujets très concrets : les hélices de navire, la lubrification, les pompes, les turbines, la condensation de la vapeur. C'est en cherchant la loi des pertes dans les conduites qu'il conçoit son expérience.
L'expérience de 1883
Un grand réservoir d'eau, laissé au repos pendant des heures pour éliminer tout remous, alimente un tube de verre horizontal muni d'une entrée évasée. Un fin filet d'encre est injecté au centre de l'entrée, et une vanne règle la vitesse.
- À faible vitesse, le filet coloré reste parfaitement rectiligne sur toute la longueur du tube : les couches de fluide glissent les unes sur les autres, l'écoulement est laminaire.
- Au-delà d'une certaine vitesse, le filet se met à onduler, puis se mélange brutalement à toute l'eau du tube : l'écoulement est devenu turbulent.
En variant le diamètre du tube et la température de l'eau, donc sa viscosité, Reynolds montre que la transition ne dépend ni de la vitesse seule, ni du diamètre seul, mais d'une combinaison sans dimension : ρVD/μ. Il mesure aussi les pertes de charge dans les deux régimes : la loi de Poiseuille s'applique en dessous du seuil, celle de Darcy au-dessus. Le seuil inférieur, sous lequel toute perturbation s'amortit, se situe autour de 2 000. Avec une eau très calme, il retarde la transition jusqu'à plus de 12 000. Le régime d'écoulement est désormais prévisible.
1895 : la turbulence mise en équations
Douze ans plus tard, Reynolds décompose la vitesse d'un écoulement turbulent en une valeur moyenne et une fluctuation. Il fait ainsi apparaître dans les équations de Navier-Stokes des termes nouveaux, les « contraintes de Reynolds », qui traduisent le transport de quantité de mouvement par l'agitation turbulente. Les rapporteurs de la Royal Society, Stokes et Lamb, trouvent l'article obscur. Il est pourtant à la base de tous les modèles de turbulence utilisés aujourd'hui en simulation numérique.
Le nom, l'impact et la postérité
- Le nom. C'est le physicien allemand Arnold Sommerfeld qui, au congrès international des mathématiciens de Rome en 1908, attache le nom de Reynolds au nombre sans dimension.
- La similitude et les maquettes. Deux écoulements de même nombre de Reynolds sont semblables. Ce principe de similitude, utilisé par Reynolds lui-même pour une maquette de l'estuaire de la Mersey dès 1885, fonde l'essai en soufflerie et en bassin : en 1912-1914, Eiffel puis Prandtl expliquent ainsi la chute brutale de la traînée d'une sphère au-delà d'un certain nombre de Reynolds.
- Le calcul des conduites. Le coefficient de perte de charge λ devient une fonction de Re : Blasius (1913), Stanton et Pannell (1914), puis Colebrook (1939) et Moody (1944) en tirent les lois utilisées dans tous les calculs de réseaux.
- Les profils et les hélices. Les performances d'un profil d'aile ou d'une pale d'hélice dépendent du nombre de Reynolds : c'est pourquoi un drone, un avion et un navire n'utilisent pas les mêmes profils.
- Une question encore ouverte. Le seuil exact d'apparition de la turbulence dans un tube n'a été établi qu'en 2011 : environ 2 040, par l'équipe de Björn Hof à Göttingen.
| Date | Étape |
|---|---|
| 1822 / 1845 | Navier, Stokes : équations du fluide visqueux |
| 1839-1846 | Hagen, Poiseuille : loi des écoulements lents en tube fin |
| 1845 / 1857 | Weisbach, Darcy : pertes de charge des conduites d'eau |
| 1851 | Stokes : rapport inertie sur viscosité |
| 1883 | Reynolds : expérience du filet coloré, critère de transition |
| 1895 | Reynolds : vitesse moyenne et fluctuation, contraintes de Reynolds |
| 1908 | Sommerfeld : le nom « nombre de Reynolds » |
| 1912-1914 | Eiffel, Prandtl : crise de traînée de la sphère |
| 2011 | Avila, Hof et al. : seuil de turbulence vers Re = 2 040 |
Bibliographie
- G. G. Stokes, « On the effect of the internal friction of fluids on the motion of pendulums », Transactions of the Cambridge Philosophical Society, 9, 1851.
- O. Reynolds, « An experimental investigation of the circumstances which determine whether the motion of water shall be direct or sinuous, and of the law of resistance in parallel channels », Philosophical Transactions of the Royal Society, 174, 1883, p. 935-982.
- O. Reynolds, « On the dynamical theory of incompressible viscous fluids and the determination of the criterion », Philosophical Transactions of the Royal Society A, 186, 1895.
- N. Rott, « Note on the history of the Reynolds number », Annual Review of Fluid Mechanics, 22, 1990, p. 1-11.
- D. Jackson, B. Launder, « Osborne Reynolds and the publication of his papers on turbulent flow », Annual Review of Fluid Mechanics, 39, 2007, p. 19-35.
- K. Avila, D. Moxey, A. de Lozar, M. Avila, D. Barkley, B. Hof, « The onset of turbulence in pipe flow », Science, 333, 2011, p. 192-196.
Questions fréquentes
Quelle longueur de référence prendre dans le nombre de Reynolds ?
Celle qui gouverne le phénomène étudié, et toujours la même que celle des courbes ou des corrélations que l'on utilise. Pour un écoulement en conduite, c'est le diamètre intérieur, ou le diamètre hydraulique 4 S / P pour une section non circulaire. Pour la portance et la traînée d'un profil, c'est la corde ; pour le frottement d'une plaque ou d'une carène, la longueur mouillée dans le sens du courant ; pour un corps non profilé (sphère, cylindre), la dimension frontale. Un même Reynolds de 10⁵ n'a donc pas la même signification pour une conduite et pour une aile.
Pourquoi les seuils de 2 000 et 3 000 en conduite ?
En dessous de 2 000, toute perturbation s'amortit et l'écoulement reste laminaire : les pertes de charge suivent la loi de Poiseuille, λ = 64/Re, proportionnelles à la vitesse et indépendantes de la rugosité. Au-delà de 3 000, la turbulence s'entretient d'elle-même et les pertes varient à peu près comme le carré de la vitesse, selon Colebrook. Entre les deux, le régime dépend des perturbations amont et de la rugosité : les calculs y sont incertains et l'on évite de dimensionner un réseau dans cette zone. Ces seuils ne valent que pour les conduites : un profil d'aile ou une sphère ont leurs propres transitions, vers 5 × 10⁵.
À quoi sert le nombre de Reynolds pour les maquettes et la similitude ?
Deux écoulements de même géométrie et de même nombre de Reynolds sont semblables : ils ont les mêmes coefficients de traînée, de portance ou de perte de charge. C'est ce qui permet d'essayer en soufflerie ou en bassin une maquette au dixième, à condition d'augmenter la vitesse ou de changer de fluide pour retrouver le Reynolds du réel, ce qui n'est pas toujours possible. C'est aussi pourquoi les polaires d'un profil sont données par plages de Reynolds, et pourquoi un profil excellent sur un avion peut décevoir sur une petite hélice ou un drone, qui travaillent à des Reynolds cent fois plus faibles.
Comment connaître le régime d'écoulement de mon réseau ou de mon profil ?
Mecaflux Standard calcule le nombre de Reynolds et le régime de chaque tronçon de conduite, choisit l'équation de perte de charge adaptée et vous signale les cas proches de la transition ; pour les profils, il dispose de polaires sur 3 plages de nombres de Reynolds et extrapole en dehors. Pour un réseau ou un projet aérodynamique à concevoir ou à vérifier, Mecaflux réalise l'étude de votre projet et vous remet la note de calcul, ou vous propose une formation sur le logiciel appliquée à votre propre cas.